ผมเจอโจทย์ข้อนี้ในอินเทอร์เน็ต เป็น chess puzzle ที่น่าสนใจดีครับ ใครอยากลับสมองก็ขอเชิญมาเล่นกัน ก่อนอื่น ขอออกตัวว่าผมทราบเฉลย ดังนั้นเฉลยในแบบที่คุณจะได้เห็นต่อไปนี้ คือเฉลยแบบที่ผมคิด ซึ่งถ้าหากท่านใดพบว่ามันผิดพลาดประการใด ก็สามารถชี้แนะได้เต็มที่ครับ
จากรูปเป็นกระดานหมากรุกขนาด 4x∞ เท่านั้นไม่พอ กระดานหมากรุกดังกล่าวยังถูกนำมาม้วนเป็นแถบเมอบีอุส ผมไม่แน่ใจว่า ∞ (อนันต์) ในโจทย์หมายถึงอะไร อาจหมายถึงแถบกระดานหมากรุกเดิมมีความยาวอนันต์แล้วเอามาม้วนเป็นเมอบีอุส คุณก็ใช้สมมติฐานนิดหน่อยว่ามันทำได้ (ถึงแม้ว่ามันจะทำไม่ได้ หรือทำได้ แต่ไม่รู้ว่าทำอย่างไร) ตรงนี้ใช่ปัญหา เพราะเกมถูกควบคุมโดยตรรกะ ไม่ว่ากระดานจะยาวแค่ไหน ควีนหรือเรือบนกระดานก็ต้องสามารถเดินไปยังตำแหน่งใด ๆ ก็ได้ตราบเท่าที่ไม่มีตัวหมากอื่นมาขวางทางในทิศที่มันสามารถเดินได้ หรือบางที อนันต์อาจหมายถึงลักษณะของกระดานที่ถูกม้วนเป็นวง ไม่มีจุดต้น ไม่มีจุดปลาย (เราคำนวณความยาวในการเคลื่อนที่ครบรอบได้ แต่ไม่มีขีดจำกัดว่าหมากหนึ่งตัวจะเดินได้ยาวที่สุดแค่ไหน) หมายความว่า เกมหมากรุกบนกระดานเช่นนี้ มีโอกาสที่คุณสามารถเดินโดยไม่ต้องเดินก็ได้ เพราะมีความเป็นไปได้ที่เรือหรือควีนตัวหนึ่งอาจจะเดินไปข้างหน้าจนกลับมาถึงตำแหน่งเดิม ไม่ว่าอนันต์จะถูกใช้ในความหมายใด ก็ไม่มีผลกระทบต่อลอจิกของเกม บนกระดานมีตัวหมากเท่าที่เห็นในภาพ ไม่มีหมากตัวใดซ่อนอยู่ด้านที่เรามองไม่เห็น สาเหตุที่ต้องกำหนดเช่นนี้เพราะแถบเมอบีอุสเป็นรูปทรงที่มีแค่พื้นผิวเดียว ภาพต้นฉบับไม่ชัดเท่าไร ผมเพิ่มคำบรรยายให้ตามภาพด้านล่าง
สำหรับทิศทางของเบี้ยดำไม่ต้องสนใจว่าทิศทางเป็นยังไง โจทย์คือ สีขาวเดิน และต้องรุกจนภายใน 2 ที (White to move, mate in 2)
สำหรับใครที่ไม่รู้จักแถบเมอบีอุส เรามาทำความรู้จักกับเจ้าแถบนี้สักนิดนึง ถ้าคุณเริ่มต้นด้วยแถบกระดาษยาว 1 แผ่น พิจารณากระดาษแผ่นนี้คุณจะพบว่ามันมีพื้นผิว 2 ด้าน และขอบกระดาษ 4 ขอบ ถ้าคุณนำขอบตรงข้าม 2 ขอบมาประกบกัน (ตามรูป) คุณก็จะได้ทรงกระบอก เหมือนซิลิโคน wristband ที่สมัยหนึ่งเราฮิตใส่กัน โดยรูปทรงกระบอกนี้มีพื้นผิว 2 ด้าน ด้านนอกกับด้านใน และขอบ 2 ขอบ
แต่ถ้าก่อนนำขอบตรงข้าม 2 ขอบมาประกบกัน เราบิดแถบกระดาษครึ่งรอบ (ดูรูป) รูปทรงใหม่ที่เราได้จะเป็นรูปทรงที่มีพื้นผิวแค่พื้นผิวเดียว และขอบแค่ขอบเดียว วัตถุชิ้นนี้นี่แหละครับเรียกว่าแถบเมอบีอุส (Möbius strip) ภาพมดแดงเดินบนแถบเมอบีอุสของ Escher แสดงมดแดงเดินต่อ ๆ กันไป ถ้ากระดาษยาว x เมื่อมดแดงเดินได้ระยะทาง 2x มันจะพบว่าพวกมันวนกลับมาที่เดิม
เมื่อรู้จักแถบเมอบีอุสแล้ว ปริศนาข้อนี้ก็ไม่ยากเย็นอะไร เพียงเส้นทางเดินของหมากแต่ละตัวที่สามารถเดินยาวได้อาจชวนสับสนเล็กน้อย เพราะพื้นผิวด้านหน้าและด้านหลังของกระดาษเชื่อมประสานเป็นพื้นผิวเดียวกัน แถวที่ 1 2 3 4 ของด้านหน้าไม่ได้เชื่อมโดยตรงกับแถวที่ 1 2 3 4 ของด้านหลัง แต่เชื่อมกับแถวที่ 4 3 2 1 แทน ถ้าเราเขียนเส้นทางของแต่ละแถวออกมา คุณจะพบว่ามีการเชื่อมต่อดังรูป
เห็นว่า หมากรุกนี้ก็ยังมี 4 แถวเหมือนเดิม ผมเขียนหมายเลขกำกับชิ้นส่วนของแถบเมอบีอุส 3 ส่วนด้วยเลข 1 2 3 ประกอบกับทิศทางของลูกศร ถ้าคุณเดินไปตามทิศของลูกศร คุณต้องเดินตามลำดับตัวเลข 1→2→3→1→2→... แต่ถ้าคุณเดินสวนทางกับทิศของลูกศร คุณต้องเดินตามลำดับ 3→2→1→3→2→... เช่น เรือขาวที่อยู่บนส่วนที่ 1 สามารถเดินตามทิศลูกศรไปกินเรือดำบนส่วนที่ 2 เพื่อรุกคิงดำได้ หรืออาจจะเดินย้อนทิศลูกศรไปกินบิชอบดำเพื่อรุกคิงดำได้เหมือนกัน อันที่จริง พอคุณสร้างความสัมพันธ์แบบนี้ออกมาได้ ปริศนาก็เกือบคลี่คลายแล้วครับ
คิงดำเหลือตาเดินแค่ไม่กี่ช่องคือกินม้าขาวหรือไม่ก็เดินขึ้นไปหาบิชอบ ม้าขาวหมดสิทธิรุกคิงดำ ถ้าเราเดินตาแรกโดยไม่รุก เราอาจถูกหมากดำใช้เรือบนส่วนที่ 1 โจมตีคิงขาว ทำให้หมดโอกาสทำจนใน 2 ที มีความเป็นไปได้สูงมากว่าเราควรรุกในตาแรก เนื่องจากตัวที่เราจะเอาไปรุกมีแค่เรือกับควีน คำถามต่อมาจึงเป็นการพิจารณาว่า รุกทางไหนดี ทางทิศลูกศร หรือย้อนทิศลูกศร ซึ่งถ้าเรารุกโดยมีทิศโจมตีตามทิศลูกศร (แปลว่า ตัวหมากที่กระทำการรุก จะต้องเดินไปตามทิศลูกศรเพื่อสังหารคิงดำ) เราก็พบว่าดำมีกลยุทธ์เด่นในการปกป้องตนเอง นั่นคือการใช้ม้าหรือควีนเดินมาปิดในตำแหน่งที่หมากสองตัวนี้ผูกกันและกัน มองไปมองมาผมคิดว่าตาที่สวยเท่าที่คิดได้ คือ เอาควีนขาวเดินย้อนศรกินม้าแล้วรุก คิงดำกินควีนไม่ได้เพราะมีม้าขาวดูแลอยู่ ส่วนบิชอบก็กินควีนไม่ได้เพราะเรือขาวบนส่วนที่ 1 คุมเชิงอยู่ บีบให้คิงดำกินม้า หลังจากคิงดำกินม้า เราก็เดินเรือขาวบนส่วนที่ 2 ไปกินควีนดำ และรุกจน