ซอมบี้ในตึก

คุณเข้าไปในตึกที่มี n คน คุณไม่รู้ว่าคนในตึกนั้นจะเป็นซอมบี้บ้างหรือไม่ หรือเป็นซอมบี้กี่คน ปรากฎว่าคนแรกที่คุณเจอเป็นซอมบี้ คุณฆ่ามันตาย ต่อมาคุณเจออีกคนหนึ่ง ถามว่า คนที่สองนี้มีโอกาสเป็นซอมบี้เท่าไร

เฉลย (ตัวอักษรสีขาว)

ถ้าในตึกมีคน 2 คน และโอกาสที่จะมีซอมบี้ 0 หรือ 1 หรือ 2 ตัว มีค่าเท่า ๆ กัน (อันนี้เป็น a priori knowledge) ต่อมาเราได้รับประสบการณ์เพิ่มเติม เพราะเจอกับคนแรก แล้วมันเป็นซอมบี้ เราจะมีความรู้ใหม่ เป็น a posteriori knowledge ว่า กรณีซอมบี้ 0 ตัวนั้นไม่ใช่ล่ะ ฉะนั้นอาจมีซอมบี้ 1 ตัวหรือ 2 ตัวก็ได้ แต่ทั้งนี้ทั้งนั้นด้วยความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน ทำไมไม่เท่ากันครับ เพราะถ้ามีซอมบี้ 1 ตัว โอกาสที่จะเจอคนแรกแล้วคนนั้นเป็นซอมบี้เท่ากับ 50% ขณะที่ถ้าเป็นกรณีซอมบี้ 2 ตัว โอกาสที่จะเจอคนแรก แล้วคนนั้นเป็นซอมบี้เท่ากับ 100% นั่นคือ กรณีมีซอมบี้ 2 ตัวมีโอกาสเป็นไปได้มากกว่ากรณีมีซอมบี้ 1 ตัวอยู่เท่าตัวในการที่จะทำให้เราเจอกับซอมบี้เป็นตัวแรก ฉะนั้น หลังจากคุณมีประสบการณ์ว่าคนแรกที่เจอเป็นซอมบี้ โอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้ด้วยเท่ากับ (1/3)(0) + (2/3)(1) = 2/3

ถ้าในตึกมีคน 3 คน และด้วย a priori knowledge แบบเดิม คือ โอกาสที่จะมีซอมบี้ 0 หรือ 1 หรือ 2 หรือ 3 ตัว มีค่าเท่า ๆ กัน เราตัดกรณี 0 ตัวทิ้งไปเหมือนเดิม เพราะเรามีความรู้เพิ่มหลังจากที่เราเจอซอมบี้ตัวแรก เช่นเคยครับ คราวนี้กรณีมีซอมบี้ 1 หรือ 2 หรือ 3 ตัวก็ไม่เท่ากันแล้วล่ะ (แต่ละกรณี มีความน่าจะเป็นที่จะเจอคนแรกแล้วคนนั้นเป็นซอมบี้เท่ากับ 1/3, 2/3, 1 ตามลำดับ) ฉะนั้น โอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้เท่ากับ (1/6)(0) + (2/6)(1/2) + (3/6)(1) = 2/3

ถ้าในตึกมีคน 4 คน ... โอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้เมื่อเราเจอซอมบี้ตัวแรกเท่ากับ (1/10)(0) + (2/10)(1/3) + (3/10)(2/3) + (4/10)(1) = 2/3

ถ้าในตึกมีคน n คน ... (1/s)(0) + (2/s)(1/[n-1]) + (3/s)(2/[n-1]) + ... + ([n-1]/s)([n-2]/[n-1]) + (n/s)(1) = 2/3 เมื่อ s = 1 + 2 + 3 + ... + n (ลองเอา sum [k=1..n] (2*k*(k-1)/(n*(n+1)*(n-1))) ไปป้อนลง wolfram alpha ได้เลยครับ)

เราเห็นว่าโอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้ (เมื่อเราตั้งสมมติฐานว่าตึกนี้มีโอกาสมีซอมบี้ 0 ตัว หรือ 1 ตัว หรือ 2 ตัว ... หรือ n ตัวเท่า ๆ กัน และเรามีประสบการณ์เพิ่มเติมว่าคนแรกที่เราเจอในตึกนี้เป็นซอมบี้) ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ n คือเท่ากับ 2/3

ทีนี้จะเกิดอะไรขึ้น ถ้า a priori knowledge เปลี่ยนไป สมมติเรามีความรู้ว่า แต่ละคนมีโอกาสเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ก็ได้เท่า ๆ กัน หมายความว่า ถ้าเราเข้าตึกนี้แล้วสุ่มเลือกคนออกมาหนึ่งคน โอกาสที่คน ๆ นั้นจะเป็นซอมบี้เท่ากับ 50% คำถามคือ หลังจากเรามีประสบการณ์ พบว่าคนแรกที่เจอเป็นซอมบี้นั้น จะเปลี่ยนแปลงการประเมินโอกาสที่คนที่สองที่เราเจอเป็นซอมบี้ไปอย่างไร คำตอบอาจจะดู amazing สำหรับบางคนนะครับ คือความรู้หรือประสบการณ์การเจอซอมบี้ตัวแรกไม่ได้ช่วยในการประเมินความเป็นซอมบี้ของคนที่สองที่เราเจอเลย เหมือนกับการที่เราโยนเหรียญครั้งแรกออกหัว มันไม่ช่วยบอกอะไรเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่สอง เพราะ เรารู้เพียง (a priori knowledge คือ) การโยนเหรียญแต่ละครั้งมีโอกาสออกหัวหรือก้อยเท่า ๆ กัน ทำนองเดียวกับการเป็นหรือไม่เป็นซอมบี้ของคน ๆ หนึ่งที่อาจจะเป็นหรือไม่เป็นก็ได้เท่า ๆ กัน ตรงนี้แตกต่างปัญหาลูกของคุณสมิธนะครับ

คุณสมิธมีลูก 2 คน ถ้าเรารู้ว่ามีลูกคนหนึ่งเป็นผู้ชาย (รู้เพียงเท่านี้) โอกาสที่ลูกอีกคนจะเป็นผู้ชายเท่ากับ 1/3 ไม่ใช่ 1/2 แต่ถ้าเรารู้ว่าคุณสมิธมีลูกหนึ่งคนเป็นผู้ชายภายใต้บางสถานการณ์ (ที่ทำให้เกิดความรู้อื่นเพิ่มขึ้นมาอีก) เช่น เราเจอเด็กคนหนึ่ง เด็กคนนั้นบอกว่า ฉันเป็นลูกของพ่อสมิธนะ (หรือ มีใครเดินมาบอกเราและชี้ไปที่เด็กคนนั้น ว่านั่นเป็นลูกของคุณสมิธ) ถามว่าโอกาสที่ลูกอีกคนหนึ่งของคุณสมิธจะเป็นผู้ชาย ยังเท่ากับ 1/3 มั้ยครับ? กรณีนี้ไม่เท่าแน่นอน โอกาสที่ลูกอีกคนหนึ่งของคุณสมิธจะเป็นผู้ชายเท่ากับ 1/2, ทำไม?

ถ้าเราไม่มีความรู้อะไรเลย (นอกจาก a priori knowledge ที่ว่า ลูกแต่ละคนอาจเป็นหญิงหรือชายก็ได้เท่า ๆ กัน) ลูกของคุณสมิธอาจเป็น ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย, หญิง-หญิง ด้วยโอกาสเท่ากัน พอเรารู้ว่าคนหนึ่งเป็นชาย เราประเมินใหม่โดยตัดกรณี หญิง-หญิง ทิ้ง แล้วพบว่ากรณี ชาย-ชาย มีความเป็นไปได้คือ 1/3 แต่ถ้าเราเจอลูกชายของแกหนึ่งคน กรณี ชาย-ชาย เป็นกรณีที่ทำให้เรามีโอกาสเจอลูกชายมากกว่ากรณี ชาย-หญิง หรือ กรณี หญิง-ชาย นั่นคือกรณี ชาย-ชาย คนที่เราเจอ อาจจะเป็นชาย 1 หรือ ชาย 2 ก็ได้ (ความรู้ที่เพิ่มขึ้น มาจากการรู้ว่ามีลูกคนหนึ่งเป็นชายในกรณีนี้เกิดจากการประเมินร่วมกับโอกาสที่คุณจะได้เจอลูกชายคนใดคนหนึ่งของคุณสมิธ) โอกาสที่ลูกอีกคนหนึ่งของสมิธจะเป็นชายจึงเท่ากับ 1/2 กรณีซอมบี้ก็เช่นเดียวกันครับ ด้วย a priori knowledge ว่าคนใด ๆ มีโอกาสเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ก็ได้เท่า ๆ กัน การที่เราเจอคนแรกว่าเป็นซอมบี้ มันก็ไม่มีผลอะไรกับโอกาสการเป็นซอมบี้ของคนที่สองที่เราเจอ

ตัวอย่าง กรณีในตึกมี 2 คน ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ คน-คน, คน-ซอมบี้, ซอมบี้-คน, ซอมบี้-ซอมบี้ ต่อมาเราเจอคนหนึ่งและพบว่าคนนั้นเป็นซอมบี้ เราตัดกรณี คน-คน ทิ้งไป เหลือกรณี คน-ซอมบี้, ซอมบี้-คน, ซอมบี้-ซอมบี้ การที่เราพบว่าคนแรกที่เราเจอเป็นซอมบี้นั้น กรณี คน-ซอมบี้, ซอมบี้-คน มีโอกาสเป็นไปได้กรณีละ 50% ส่วนกรณี ซอมบี้-ซอมบี้ มีโอกาสเป็นไปได้ 100% ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นซอมบี้เมื่อคนแรกเป็นซอมบี้เท่ากับ 50% (เท่ากับความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นซอมบี้เมื่อคนแรกไม่เป็นซอมบี้)

กรณีในตึกมี 3 คน ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ ค-ค-ค, ค-ค-ซ, ค-ซ-ค, ค-ซ-ซ, ซ-ค-ค, ซ-ค-ซ, ซ-ซ-ค, ซ-ซ-ซ ต่อมาเราเจอคนแรกและพบว่าเป็นซอมบี้ เราตัดกรณี ค-ค-ค ทิ้งไป เหลือ 7 กรณีคือ ซ-ซ-ซ, ค-ค-ซ, ค-ซ-ค, ค-ซ-ซ, ซ-ค-ค, ซ-ค-ซ, ซ-ซ-ค ซึ่งแต่ละกรณีมีโอกาสที่คนแรกที่เราเจอเป็นซอมบี้เท่ากับ 1, 1/3, 1/3, 2/3, 1/3, 2/3 และ 2/3 ตามลำดับ ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นซอมบี้เมื่อคนแรกเป็นซอมบี้เท่ากับ (3/12)(1) + (1/12)(0) + (1/12)(0) + (2/12)(1/2) + (1/12)(0) + (2/12)(1/2) + (2/12)(1/2) = 1/2, กรณี n คนก็เหมือนกัน

คำตอบทั้ง 2 แบบนี้ คือ 2/3 กับ 1/2 ขึ้นอยู่กับว่าคุณจะยึดถืออะไรเป็น a priori knowledge ระหว่าง (1) จำนวนซอมบี้ในตึกที่อาจจะเป็นเท่าไรก็ได้เท่า ๆ กัน หรือ (2) โอกาสที่คนคนหนึ่งจะกลายเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ที่เท่า ๆ กัน

คำถามข้อนี้เป็นคำถามของคนที่ใช้นามแฝงว่าชโรนนท์ในห้องหว้ากอ พันทิพ และหลังจากที่ผมพูดถึงประเด็นว่าคำตอบขึ้นอยู่กับ a priopi knowledge ก็มีคนตั้งคำถามต่อเนื่องว่า ถ้ามีลูกบอลในถุง 3 ลูก ซึ่งอาจจะเป็นลูกบอลสีแดง 0 ถึง 3 ลูก เราเขียนแซมเปิ้ลสเปซได้ 2 แบบ S = {มีลูกบอลแดง 0 ลูก , มีลูกบอลแดง 1 ลูก , มีลูกบอลแดง 2 ลูก , มีลูกบอลแดง 3 ลูก} กับ S = {แดงแดงแดง , แดงแดงฟ้า ,แดงฟ้าแดง ,แดงฟ้าฟ้า ,ฟ้าแดงแดง ,ฟ้าแดงฟ้า ,ฟ้าฟ้าแดง ,ฟ้าฟ้าฟ้า} แล้วเขาถาม "แล้วควรมองแบบไหนถึงจะถูก? ผมก็ไม่แน่ใจถึงขนาดฟันธงได้ แต่คิดว่าแบบที่ 2 ถึงจะถูกครับ"

คำตอบต่อคำถามนี้ก็กลับไปที่ a priori knowledge ว่ายังไงนั่นแหละครับ เรารู้วิธีการจัดเตรียมถุงนั้นมั้ย หรือเรารู้อะไรเกี่ยวกับลูกบอลและสีของลูกบอลบ้าง ถ้าเรารู้ว่าลูกบอลแต่ละลูกมีโอกาสเป็นสีแดงหรือสีฟ้าก็ได้เท่า ๆ กัน แบบที่สองถูกครับ แต่เราเอาความรู้อันนี้มาจากไหน? สมมติว่า คนจัดเตรียมถุง จัดเตรียมด้วยวิธีการดังนี้ (1.) ล้วงมือเข้าไปในกระเป๋าของโดราเอม่อนแล้วหยิบลูกบอลขึ้นมา 1 ลูก (2.) กระเป๋าโดราเอม่อมถูกควบคุมโดยกฎบางอย่างว่าลูกบอลที่ออกมาแต่ละลูกนั้นมีโอกาสเป็นสีแดงหรือสีฟ้าเท่า ๆ กัน (3.) ล้วงเอาลูกบอลที่ได้ใส่ถุงจนกว่าจะครบ 3 ลูก ถ้าเรารู้วิธีการจัดเตรียมถุงที่มีลักษณะทำนองนี้ เราสามารถใช้ a priori knowledge ว่าลูกบอลแต่ละลูกมีโอกาสเป็นสีแดงหรือสีฟ้าก็ได้เท่า ๆ กันได้ครับ แต่ถ้าสมมติว่าวิธีการจัดเตรียมถุงคือ (1.) ล้วงมือเข้าไปในกระเป๋าโดราเอม่อน ซึ่งในกระเป๋าโดราเอม่อนนั้นมีถุงใส่ลูกบอล 3 ลูกอยู่ 4 ถุงที่มีลักษณะทางกายภาพเหมือนกันทุกประการ แต่ภายในถุงแต่ละถุงจะบรรจุลูกบอกสีแดงไว้ไม่เท่ากันเลย (2.) หยิบถุงออกมา 1 ถุง เราเห็นว่า วิธีการจัดเตรียมแบบนี้ (หรือแบบที่สมมูลกันนี้) จะได้แซมเปิ้ลสเปซแบบที่หนึ่ง และเราสามารถใช้ a priori knowledge ว่าจำนวนลูกบอลสีแดงในถุงอาจเป็นเท่าไรก็ได้เท่า ๆ กัน อันที่จริงกรณีนี้ มันไม่มีทางบอกได้ว่าแซมเปิ้ลสเปซแบบไหนเหมาะสมกว่ากัน ต่างกับกรณีลูกของคุณสมิธ ที่เราบอกว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นหญิงหรือชายก็ได้เท่า ๆ กันนั้นเหมาะสมกว่าการตั้งสมมติฐานว่าคุณสมิธมีลูกผู้ชาย 0 คน 1 คน หรือ 2 คนก็ได้เท่า ๆ กัน สำหรับกรณีซอมบี้ ถ้าผมเป็นตัวละครในเรื่อง ผมเลือก a priori knowledge แบบที่ 1 จำนวนซอมบี้ในตึกที่อาจจะเป็นเท่าไรก็ได้เท่า ๆ กัน เพราะเราไม่รู้โอกาสการเป็นซอมบี้ จึงไม่มีเหตุผลอะไรมากนักที่จะประมาณ (จากความไม่รู้ว่า) คนคนหนึ่งอาจเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ก็ได้เท่า ๆ กัน มันเหมาะสมกว่าที่จะประเมินความเป็นไปได้ว่า โอกาสการเป็นซอมบี้ของคนคนหนึ่งอาจจะน้อยมากหรือสูงมากหรือค่าระหว่างกลางเท่าไรก็ได้ เท่า ๆ กัน นั่นเท่ากับการตั้งสมมติฐานว่ามันอาจจะเป็นไปได้ที่จะมีซอมบี้ตั้งแต่ 0 ตัวถึง n ตัว เท่า ๆ กัน