มีคำถามสนุก ๆ มาถาม มาชวนคิดฮะ หนุ่มน้อย ก เสนอ "ให้คุณพูดประโยคที่เป็นจริงหรือเท็จก็ได้หนึ่งประโยค ถ้าประโยคนั้นเป็นจริง คุณจะได้ 10 บาท แต่ถ้าประโยคนั้นเป็นเท็จ คุณจะได้มากกว่าหรือน้อยกว่า 10 บาท แต่ไม่เท่ากับ 10 บาทแน่ ๆ" ส่วนหนุ่มน้อย ข เสนอ "ให้คุณพูดประโยคที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จก็ได้หนึ่งประโยค ไม่ว่าประโยคนั้นเป็นจริงหรือเท็จก็ตาม คุณจะได้มากกว่า 10 บาท"
คำถาม คุณจะรับข้อเสนอของใครครับ ก หรือ ข? โอเค Smullyan เดาว่า คุณคงคิด เป็นใครก็ต้องเลือก ข สิ เพราะยังไงก็รับประกันว่าจะได้มากกว่า 10 บาทแน่ ๆ เห็นชัด ๆ ว่าข้อเสนอของหนุ่มน้อย ข ดีกว่า ก (คุณคิดว่าไงฮะ) ทีนี้ Smullyan ท้า เอางี้สิ ฉันจะให้เธอ 20 บาทเลยถ้าเธอเสนอข้อเสนอแบบเดียวกับ ก กับฉัน คำถามจริง ๆ ล่ะนะ คุณกล้าเสนอข้อเสนอแบบเดียวกับข้อเสนอของ ก แก่โปรเฟสเซอร์ Smullyan มั้ย
โจทย์ข้อนี้ผมเอามาจากปัญหาข้อแรกในหนังสือ Forever Undecided: A Puzzle Guide to Gödel ของ Raymond Smullyan เฉลยต่อไปนี้จะว่าไปตามลำดับปัญหาย่อยตามหนังสือ ซึ่งจะช่วยให้เราเข้าใจคำตอบได้ง่ายขึ้น
Smullyan ว่าลองดูคำถามข้อนี้ก่อน (จากหนังสือ To Mock a Mockingbird ของปู่แก) สมมติว่าปู่เสนอรางวัล 2 รางวัล เรียกว่า รางวัล 1 กับ รางวัล 2 และให้คุณพูดข้อความหนึ่งข้อความ ถ้าข้อความนั้นจริง ปู่จะให้รางวัลแก่คุณหนึ่งรางวัล (แต่ไม่บอกว่ารางวัลไหนนะครับ) ถ้าข้อความนั้นเท็จ คุณจะไม่ได้รางวัลอะไรเลย กรณีที่คุณอยากได้รางวัล และไม่สนใจว่าจะเป็นรางวัลอะไร คุณก็แค่พูด "สองบวกสองเท่ากับสี่" ง่าย ๆ ใช่มั้ยฮะ
คำถามต่อมา สมมติว่าคุณอยากได้รางวัล 1 ล่ะ คุณจะพูดว่าอะไร
คำตอบ "คุณจะไม่ให้รางวัล 2 กับผม" คำพูดนี้จะรับประกันว่าคุณได้รางวัล 1 แน่, ทำไม?, ถ้าคำพูดนี้ของคุณเป็นเท็จ หมายความว่า คุณจะต้องได้รางวัล 2 แต่คุณจะได้รางวัล 2 ได้ยังไงถ้าข้อความที่คุณพูดเป็นเท็จ เกิดข้อขัดแย้ง ฉะนั้นข้อความที่คุณพูดต้องเป็นจริง นั่นหมายความว่า โปรเฟสเซอร์จะต้องไม่ให้รางวัล 2 กับคุณ แกจะยื่นรางวัล 1 ที่คุณอยากได้ให้คุณ
Smullyan ชี้ว่า คำถาม-คำตอบนี้สัมพันธ์กับทฤษฎีบท Incompleteness ของเกอเดล เพื่อให้เห็นว่าสัมพันธ์กันอย่างไรนั้น แกชวนให้ดูปัญหาอีกข้อหนึ่ง ซึ่งที่จริงแล้วก็เป็นปัญหาข้อเดิมนั่นแหละครับ แต่เล่าในอีกแบบ
บนเกาะแห่งหนึ่ง ชาวบ้านบนเกาะ ถ้าไม่เป็นอัศวินก็ต้องเป็นคนหัวหมอ อัศวินพูดจริงเสมอ คนหัวหมอพูดเท็จเสมอ ทีนี้ สมมติต่อว่าบนเกาะนั้นมีคลับอยู่สองคลับ เรียกว่า คลับ 1 กับคลับ 2 และเฉพาะอัศวินเท่านั้นที่ได้รับอนุญาตให้เป็นสมาชิกของคลับใดคลับหนึ่ง คนหัวหมอไม่ได้รับอนุญาตให้เป็นสมาชิกของคลับใดเลย นอกจากนี้ อัศวินทุกคนเป็นสมาชิกของคลับเพียงคลับเดียวเท่านั้น (ไม่มีอัศวินคนไหนไม่เป็นสมาชิกคลับ และไม่มีอัศวินคนไหนเป็นสมาชิกของคลับทั้งสองคลับ) วันหนึ่ง คุณไปเที่ยวเกาะนี้ และเจอกับชาวเกาะคนหนึ่ง ชาวเกาะพูดข้อความบางอย่างที่ทำให้คุณสามารถสรุปได้อย่างสมเหตุสมผลว่าเขาจะต้องเป็นสมาชิกของคลับ 1 ข้อความแบบไหนบ้างครับที่ทำให้คุณสามารถสรุปอย่างนั้นได้
ตัวอย่าง ชาวเกาะพูด "ฉันไม่ได้เป็นสมาชิกของคลับ 2" ถ้าคนพูดข้อความนี้คือคนหัวหมอ นั่นเท่ากับเขาพูดจริง เพราะคนหัวหมอเป็นสมาชิกของคลับไหนไม่ได้อยู่แล้ว เกิดข้อขัดแย้ง เพราะคนหัวหมอไม่พูดจริง ฉะนั้น คำพูดนี้เป็นคำพูดของอัศวิน และเขาย่อมหมายความตามนั้น เขาเป็นสมาชิกคลับ 1
ปัญหาสองข้อนี้แฝงความคิดสำคัญในทฤษฎีบทของเกอเดล สมมติว่าเราจำแนกประพจน์ที่เป็นจริงของระบบออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่ม 1 ประกอบด้วยประโยคทั้งหมดของระบบที่ถึงแม้ว่าจะเป็นจริงแต่ก็ไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงภายในระบบ, กลุ่ม 2 ประโยคทั้งหมดที่เป็นจริงและสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงในระบบ สิ่งที่เกอเดลทำคือ เขาสร้างประโยคขึ้นมาประโยคหนึ่งที่ยืนยันว่ามันอยู่ในกลุ่ม 1 อย่างประโยค "ประพจน์นี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบ" ถ้าประโยคนี้เป็นเท็จ เท่ากับสิ่งที่มันพูดถึงก็เป็นเท็จ นั่นคือ มันเป็นประพจน์ที่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้ง เพราะประพจน์ทั้งหมดที่พิสูจน์ได้ในระบบต้องเป็นจริง ดังนั้น ประพจน์ดังกล่าวเป็นจริง และมันเป็นประพจน์ที่พิสูจน์ไม่ได้ในระบบ
ก่อนจะเข้าสู่เฉลยปัญหาหลัก Smullyan แนะนำปัญหาดัดแปลงอีก 2-3 ข้อ เริ่มจาก สมมติว่า เสนอรางวัล 2 รางวัลเหมือนตอนแรก คือ รางวัล 1 กับ รางวัล 2 ถ้าข้อความที่คุณพูดเป็นจริง แกจะให้รางวัลแก่คุณอย่างน้อยหนึ่งรางวัล อาจจะให้สองรางวัลเลยก็ได้ แต่ถ้าข้อความที่คุณพูดเป็นเท็จ คุณจะไม่ได้อะไรเลย กรณีนี้ ถ้าคุณโลภอยากได้ทั้งสองรางวัล จะพูดว่าอะไรครับ? คำตอบ "ฉันจะได้ทั้งสองรางวัลหรือไม่ฉันก็จะไม่ได้รางวัลเลย" ถ้าประโยคนี้เป็นเท็จ เท่ากับคุณจะได้หนึ่งรางวัล แต่คุณจะได้หนึ่งรางวัลได้ยังไงในเมื่อคุณพูดเท็จ เกิดข้อขัดแย้ง ฉะนั้นประโยคนี้เป็นจริง ในเมื่อประโยคนี้เป็นจริง คุณจะต้องได้สองรางวัล (กรณีไม่ได้รางวัลเลยก็เป็นไปไม่ได้ เพราะประโยคที่เป็นจริงจะต้องได้อย่างน้อยหนึ่งรางวัล) คำถามต่อมา ถ้าเราดัดแปลงเงื่อนไขนิดหน่อย ถ้าคุณพูดจริง คุณจะได้รางวัล 2 แต่ถ้าคุณพูดเท็จ คุณจะไม่ได้รางวัล 2 (หมายความว่า คุณอาจได้หรือไม่ได้รางวัล 1 ก็ได้) กรณีนี้ คุณอยากได้รางวัล 1 จะพูดว่าไง คำตอบ "ฉันจะไม่ได้รางวัล" ประโยคนี้เป็นจริงไม่ได้ เพราะถ้ามันเป็นจริง คุณจะได้รางวัล 2 ขัดแย้งกับ "ฉันจะไม่ได้รางวัล" ฉะนั้นมันเป็นเท็จ ในเมื่อมันเป็นเท็จ แปลว่า คุณจะต้องได้รางวัล แต่คุณไม่มีสิทธิได้รางวัล 2 เพราะคุณพูดเท็จ ดังนั้น คุณได้รางวัล 1 สมใจ
คำถามต่อมา ดัดแปลงจากเดิมอีก ถ้าคุณพูดเท็จ คุณจะได้รางวัลหนึ่งรางวัลในสองรางวัลนี้ แต่ถ้าคุณพูดจริง คุณจะไม่ได้อะไรเลย คุณจะพูดว่าอะไรครับถ้าอยากได้รางวัล 1 คำตอบ "ฉันจะได้รางวัล 2" ถ้าคำพูดนี้เป็นจริง หมายความว่าคุณจะได้รางวัล 2 แต่เป็นไปไม่ได้ เพราะถ้าคุณพูดจริง คุณจะไม่ได้อะไรเลย เกิดข้อขัดแย้ง ฉะนั้นข้อความนี้เป็นเท็จ ในเมื่อมันเป็นเท็จ คุณจะต้องได้รางวัลหนึ่งรางวัล และเป็นรางวัล 2 ไปไม่ได้ (เพราะไม่งั้นข้อความจะกลายเป็นจริง ซึ่งเป็นไปไม่ได้) ฉะนั้น คุณได้รางวัล 1 สมใจ ถึงตรงนี้ Smullyan ว่าคุณคงเก็ตแล้วสินะว่าทำไมไม่ควรรับคำท้า เอา 20 บาทจากแก เพราะถ้าคุณเสนอข้อเสนอแบบเดียวกับ ก. แก่โปรเฟสเซอร์ แกจะพูดว่า "คุณจะไม่จ่ายผม 10 บาทและไม่จ่ายผมหนึ่งล้านบาท" ถ้าประโยคนี้เป็นจริง คุณต้องไม่จ่าย 10 บาทและไม่จ่าย 1 ล้านบาท แต่คุณต้องจ่าย 10 บาทสำหรับประโยคที่เป็นจริง เกิดข้อขัดแย้ง ฉะนั้น ประโยคดังกล่าวเป็นเท็จ ในเมื่อประโยคนี้เป็นเท็จ หมายความว่า คุณจะต้องจ่ายแก 10 บาท หรือไม่ ก็ต้องจ่ายแก 1 ล้านบาท แต่คุณจ่ายแก 10 บาทไม่ได้ เพราะข้อความที่แกพูดเป็นเท็จ ดังนั้น คุณถูกแกหลอกให้เสีย 1 ล้านบาทแลกกับ 20 บาทแล้วล่ะ