ตัวอย่างหนึ่งที่ปู่เรย์ใช้อธิบายให้ชาวบ้านทั่วไปให้พอได้อารมณ์ของ Incompleteness Theorem ทฤษฎีบทแรกของเกอเดล เป็นแบบนี้ครับ สมมติมีเครื่องจักรหนึ่งซึ่งจะพิมพ์ข้อความที่สร้างจากสัญลักษณ์ P N R *
เราจะเรียกข้อความที่เครื่องจักรสามารถพิมพ์ออกมาได้ว่าเป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ และถือว่าเครื่องจักรถูกโปรแกรมให้พิมพ์ข้อความทั้งหมดที่มันสามารถพิมพ์ได้ไม่ช้าก็เร็ว ประโยคหมายถึงข้อความในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้ เมื่อ X แทนข้อความใด ๆ (1) P*X (2) NP*X (3) PR*X (4) NPR*X ประโยค P*X จะถูกตีความว่า "สามารถพิมพ์ X ได้" และประโยคนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้, ประโยค NP*X จะถูกตีความว่า "ไม่สามารถพิมพ์ X ได้" และประโยคนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นข้อความที่ไม่สามารถพิมพ์ได้, ประโยค PR*X จะถูกตีความว่า "สามารถตีพิมพ์ XX ได้" และมันเป็นจริงก็ต่อเมื่อ XX เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้, สุดท้าย NPR*X เป็นจริงก็ต่อเมื่อ XX เป็นข้อความที่ไม่สามารถพิมพ์ได้ เรารู้ว่าเครื่องจักรเครื่องนี้แม่นยำมาก และทุกประโยคที่พิมพ์ออกมา เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ถ้า PR*X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ ย่อมหมายความว่าข้อความนี้เป็นจริง และนั่นหมายความว่า ข้อความ XX จะต้องถูกพิมพ์ออกมาไม่ช้าก็เร็ว ทีนี้ ถ้ากำหนดว่า X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ เราจะบอกได้มั้ยว่า P*X ก็เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ด้วย คำตอบคือ ไม่จำเป็นครับ การที่ X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ ทำให้ประโยค P*X เป็นจริง แต่ไม่ได้หมายความว่า P*X จะเป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ สิ่งที่ปู่เรย์บอกตอนเริ่มต้นนั้นมีแค่ว่า ประโยคที่พิมพ์ได้ทั้งหมดเป็นจริง แต่ไม่ได้บอกว่า ประโยคทั้งหมดที่เป็นจริง พิมพ์ได้ และในความเป็นจริงแล้ว มันมีประโยคที่เป็นจริงที่เครื่องจักรไม่สามารถพิมพ์ได้ ถ้าสนใจลองหาประโยคนั้นเองก่อน ก็อย่าเพิ่งอ่านย่อหน้าต่อไป สำหรับข้อความ X ใด ๆ ประโยค NPR*X เป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความ XX ไม่สามารถพิมพ์ได้ ถ้าให้ X คือ NPR* ล่ะ ฉะนั้น NPR*NPR* เป็นจริงก็ต่อเมื่อ NPR*NPR* ไม่สามารถพิมพ์ได้ ทำให้เกิดความเป็นไปได้แบบใดแบบหนึ่งในสองแบบนี้ คือ ก. NPR*NPR* เป็นจริงและไม่สามารถพิมพ์ได้ หรือ ข. NPR*NPR* ไม่เป็นจริงแต่มันสามารถถูกพิมพ์ได้ (เผื่อใครกำลังงง A iff B เป็นจริง ได้ 2 กรณีคือ ก. A และ B เป็นจริงทั้งคู่ กับ ข. A และ B เป็นเท็จทั้งคู่) แต่เรารู้ว่ากรณี ข. เกิดขึ้นไม่ได้ เพราะเครื่องจักรไม่พิมพ์ข้อความที่ไม่จริง ฉะนั้น NPR*NPR* คือข้อความที่เป็นจริงที่เครื่องจักรไม่สามารถพิมพ์ได้ ยังมีอะไรบางอย่างที่น่าสนใจเกี่ยวกับเครื่องจักรนี้ นั่นคือ เป็นไปได้ที่เราจะสร้างประโยค X กับ Y ที่มีประโยคหนึ่งในสองประโยคเป็นจริงแต่ไม่สามารถพิมพ์ได้ แต่ไม่มีทางที่จะรู้ได้ว่าประโยคดังกล่าวคือประโยคไหน ไอเดียคือสร้าง X ที่บอกว่า P*Y และสร้าง Y ที่บอกว่า NP*X เพราะ ถ้า X จริง นั่นคือ Y จริง และไม่สามารถพิมพ์ X ได้ ฉะนั้น ถ้า X จริง X ก็จะเป็นประโยคที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิมพ์ได้ แต่ถ้า X เท็จ แปลว่า ไม่สามารถพิมพ์ Y ได้ และข้อความที่ว่า NP*X ก็เป็นจริง เพราะเครื่องจักรไม่สามารถพิมพ์ข้อความที่เป็นเท็จได้ ฉะนั้น ถ้า X เท็จ Y ก็จะเป็นประโยคที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิมพ์ได้ ตัวอย่างคู่ข้อความดังกล่าวคือ X เท่ากับ P*NPR*P*NPR* และ Y เท่ากับ NPR*P*NPR* เห็นว่า X บอก P*Y ส่วน Y บอกไม่สามารถพิมพ์ P*NPR* ที่ซ้ำกันสองที (ซึ่งก็คือ X) ได้