หนังสือจากบรรยาย Kenneth J. Arrow Lecture Series โดยผู้บรรยาย 2 คน Sen กับ Maskin ในหัวข้อเกี่ยวเนื่องกับทฤษฎีบท Impossibility ของ Arrow หนังสือประกอบด้วย 2 ภาค ภาคแรกเป็นเลกเชอร์ ในส่วนของ Sen เนื้อหาหลักมี 2 ประเด็น คือ เสนอพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ กับตั้งข้อสังเกต 5 - 6 ข้อจากทฤษฎีบท ในส่วนของ Maskin จะพูดถึงทฤษฎีบทในบริบทของการเลือกตั้ง ต่อท้ายเลกเชอร์ยังมี commentary จาก Ken Arrow ภาคหลังเป็นบทความอ่านประกอบเสริมจากเลกเชอร์ ทฤษฎีบทของ Arrow นั้นเป็นการค้นพบพาราด็อกซ์ของ Condorcet (ศตวรรษที่ 18) ซ้ำ ซึ่ง Ken เองก็กล่าวในบทปิดท้ายหนังสือ The Origins of the Impossibility Theorem ว่า ตอนแกเสนอทฤษฎีบทดังกล่าวนั้น ไม่เคยตระหนักถึงพาราด็อกซ์ของ Condorcet มาก่อน เพิ่งจะมารู้ว่าทฤษฎีบทดังว่าเป็นกรณีทั่วไปของพาราด็อกซ์เอาทีหลัง พาราด็อกซ์ของ Marquis de Condorcet พูดถึงกรณีที่ ถ้าเรามีเซ็ตของลำดับความต้องการของทุกคนในกลุ่ม เราอาจจะไม่สามารถใช้เซ็ตนั้นสร้างลำดับความต้องการของกลุ่มได้ก็ได้ ขอยกตัวอย่างตามตัวอย่างของ Sen ในเลกเชอร์นะฮะ กลุ่มมี 3 คน และมีตัวเลือก 3 ตัวคือ x, y, z (โดย x, y, z คือสิ่งที่จะถูกเลือก อาจเป็นอะไรก็ได้ เช่น อาหาร, สถานที่ หรือแม้กระทั่ง social states) ถ้าคนแรกเลือก x > y > z (หมายความว่า คนแรกเลือก x เป็นอันดับ 1 เลือก y เป็นอันดับ 2 และเลือก z เป็นอันดับ 3) คนที่สองเลือก y > z > x และคนที่สามเลือก z > x > y เราจะพบว่า มี 2 ใน 3 ที่เห็นว่า x ดีกว่า y ขณะเดียวกัน มี 2 ใน 3 ที่เห็นว่า y ดีกว่า z ซึ่งโดยทั่วไปถ้ามันมีสมบัติ transitive เราก็จะอ้างเหตุผลว่า เพราะคนส่วนใหญ่เห็นว่า x ดีกว่า y และเพราะคนส่วนใหญ่เห็นว่า y ดีกว่า z เพราะฉะนั้น x ดีกว่า z แต่ในความเป็นจริง 2 ใน 3 เห็นว่า z ดีกว่า x นั่นคือ ในตัวอย่างนี้ การใช้ simple majority rule ทำให้ผลลัพธ์ขาดสมบัติ transitive ทำให้เราไม่สามารถใช้เช็ตของลิสต์ของทั้งสามคนมาสร้างลิสต์ของกลุ่มแบบ democratic ได้ (แต่ก็ยังสร้างลิสต์แบบ dictatorial ได้ เช่น เราพูดว่าคนแรกมี 3 เสียง หรือลิสต์กลุ่มไม่เป็นฟังก์ชั่นของลิสต์ของคนที่ 2 และ 3 เราก็จะได้ลิสต์ของกลุ่มคือ x > y > z) ทฤษฎีบทของ Arrow ก็คล้าย ๆ กันนี่แหละครับ แต่เป็นกรณีทั่วไปกว่า Arrow กำลังจะสร้างฟังก์ชั่นตัวหนึ่งซึ่งมีโดเมนคือเซ็ตของลำดับความต้องการของแต่ละคนในกลุ่ม และมีเรนจ์คือลำดับความต้องการของกลุ่ม Arrow เรียกฟังก์ชั่นดังกล่าวว่า social welfare function และทฤษฎีบท Impossibility ของแกจะบอกว่าฟังก์ชั่นนั้นไม่มีอยู่จริงภายใต้ axioms ชุดหนึ่ง ทำให้เราสามารถพูดได้อีกอย่างหนึ่งว่า axioms ชุดนี้สร้างเงื่อนไขที่ขัดแย้งกันเอง สิ่งที่น่าสนใจคือ เมื่อเราพิจารณา axiom ทีละตัว (ตามเลกเชอร์ของ Sen ทั้งหมดมี 4 ตัว, แต่ในเลกเชอร์ของ Maskin ซึ่งเอามาพูดถึงในบริบทของการเลือกตั้ง มี 5 ตัว) จะเห็นว่าแต่ละตัวเป็น axiom ที่เป็นที่ต้องการและไม่น่าจะขัดแย้งซึ่งกันและกัน (ภายหลัง Maskin วิจารณ์ว่ามันมักจะขัดแย้งกันในกรณีที่มีโอกาสเป็นไปได้น้อยในทางปฏิบัติ, Maskin นี่เป็นศิษย์ของ Arrow นะฮะ) พูดตามเลกเชอร์ของ Sen สัจพจน์ทั้ง 4 ข้อคือ U (unrestricted domain) สำหรับโดเมนที่เป็นไปได้ทุกตัว ฟังก์ชั่นนี้ต้องมีเรนจ์ พูดอีกอย่างว่า ไม่ว่าแต่ละคนจะเลือกยังไงก็ตามที่เป็นไปได้ (ตัวอย่างการเลือกที่เป็นไปไม่ได้ เช่น มีคนที่เลือก c > x > y เมื่อ c ไม่อยู่ในเซ็ตของเลือกตัว) เราจะต้องได้ลิสต์ของกลุ่ม, I (independence of irrelevant alternatives) ในการจัดลำดับของสังคมสำหรับคู่ {x,y} ใด ๆ จะขึ้นอยู่กับการจัดลำดับของแต่ละคนสำหรับ x และ y เท่านั้น (จากเลกเชอร์ของ Maskin จะพูดว่าสัจพจน์ข้อนี้กำจัด spoiler เมื่อพูดถึงในบริบทการเลือกตั้ง แกยกตัวอย่างการเลือกตั้งประธานาธิบดีของอเมริกาปี 2000 ระหว่างบุชกับกอร์ ซึ่งมาตัดสินชี้ชะตากันที่ฟลอริด้า ใครชนะก็ได้เป็นประธานาธิบดี ซึ่งกฎที่ใช้ในการนับผลโหวตของรัฐนี้คือ plurality rule (คนชนะคือคนที่ได้คะแนนโหวตในอันดับ 1 สูงสุด, ผลลัพธ์จากการใช้ plurality rule กับ majority rule อาจแตกต่างกันได้นะฮะ และถึงตอนนี้ เราพอมองออกได้ไม่ยากละว่า majority rule จะมีปัญหากับสัจพจน์ U ในกรณีพาราด็อกซ์ของ Condorcet) สุดท้ายบุชชนะกอร์ไปด้วยคะแนนน้อยกว่า 600 เสียง ทีนี้ ปัญหาซับซ้อนมันอยู่ตรงที่มี Nader เป็นผู้สมัครคนที่สามในฟลอริด้า ถึงแม้สุดท้ายแล้ว Nader จะได้เสียงโหวตไม่ถึง 2% แต่แกก็เป็นสปอยเลอร์ เพราะคน 2% นี้มีโอกาสจะโหวตให้กอร์มากกว่าบุชถ้า Nader ไม่ลง นั่นหมายความว่า ลำดับของสังคมสำหรับคู่ {บุช,กอร์} ขึ้นอยู่กับ Nader ซึ่งเป็น irrelevant alternative ในแง่ที่ว่าตัวของแกเองยังไงก็ไม่มีโอกาสชนะอยู่แล้ว, ประเด็นของ Maskin คือ plurality rule ไม่ผ่านสัจพจน์ I) P (Pareto principle) ถ้าทุกคนอยากได้ x มากกว่า y แล้ว x เป็นสิ่งที่สังคมต้องการมากกว่า y, สุดท้าย D (nondictatorship) จะต้องไม่มีคนที่ถ้าเขาต้องการ x มากกว่า y แล้ว สังคมจะต้องการ x มากกว่า y โดยไม่แยแสว่าคนอื่นจะต้องการอย่างไร ทฤษฎีบทของ Arrow บอกว่า ถ้ามีสิ่งที่ถูกเลือก (social states) ที่แตกต่างกันอย่างน้อย 3 ตัวและประชากรในสังคมมีจำนวนจำกัดแล้ว จะไม่มี social welfare function ภายใต้เงื่อนไข U, I, D, และ P ในเลกเชอร์ Sen ใช้ spread of decisiveness กับ contraction of decisive sets ในการพิสูจน์ว่า ถ้าเราสร้าง social ranking ได้ภายใต้ U, I, และ P แล้วเราจะหาคนที่เป็นเผด็จการเจอเสมอ รายละเอียดการพิสูจน์นอกจากในส่วนของเลกเชอร์ยังอ่านได้จากภาค 2 ของหนังสือในบทความ The Information Basis of Social Choice หนังสืออ่านได้เพลิน ๆ สนุก ๆ ไม่ยากจนเกินไป