เป็นหนึ่งในหนังที่ดูแล้วดูอีกได้หลายรอบ Will เป็นภารโรงหนุ่มน้อยอัจริยะ ซึ่งตาโปรเฟสเซอร์เจอรัลด์ ในเรื่องได้รับเหรียญฟิลด์ด้วยนะฮะ บอกกับเพื่อนนักจิตวิยา ฌอน ว่าหนุ่มคนนี้เทียบได้กับรามานุจัน (ไม่รู้มีนัยแฝงว่าฉันคือฮาร์ดี้ด้วยรึเปล่า) หนังสนุก และคณิตศาสตร์ในหนัง ดูสมจริง ส่วนหนึ่งเป็นเพราะได้ Prof. O'Donnell มาช่วยเขียนกระดาน เราจะไม่พูดถึงความหมายที่สำคัญของหนัง พาข้ามไปดูสิ่งที่หลายคนมองข้ามดีกว่า ขอยกตัวอย่างสัก 3 ฉาก เพื่อความบันเทิง เราจะเริ่มด้วยพีชคณิตเชิงเส้นที่ Will แก้บนกระดานดำ มีกราฟดังรูป มีโจทย์ 4 ข้อย่อย
1. หา adjacency matrix A กราฟ G ที่เห็นมี 4 โหนด 1 2 3 4 นะครับ A คือเมตริกซ์ที่อีลิเม้นท์ A_ij = k เมื่อ k คือจำนวนเส้นเชื่อมระหว่างโหนด i กับโหนด j ใครที่รู้นิยามมันแล้ว การหา A ก็ง่าย มาดูรูปที่ Will วาดกัน
Will ตอบถูกมั้ยครับ คำตอบของ Will คือเมตริกซ์ซ้ายมือ เริ่มจาก A_11 อันนี้ 0 เพราะโหนดที่เห็นในกราฟไม่มีเส้นที่ลากจากมันเองวกกลับมาหามันเองเลย ฉะนั้นตามแนวทแยง A_11 ถึง A_44 เป็น 0 หมด ตำแหน่งอื่นที่เป็น 0 อีกก็มี A_13 เพราะ 1 กับ 3 ไม่มีเส้นเชื่อมถึงกัน ทำนองเดียวกับ A_31 และ A_43 กับ A_34 คงเห็นละว่า A สมมาตร เพราะ A_ij = A_ji นั่นคือถ้ารู้ A_32 ก็รู้ A_23 และ 2 กับ 3 มีเส้นเชื่อมกัน 2 เส้น อีลีเม้นท์ที่เหลือ A_21, A_41 และ A_42 (รวมถึงคู่สมมาตรของมัน) ก็เป็น 1 ฉะนั้น ภารโรงของเราตอบถูกครับ
2. หาเมตริกซ์เดิน 3 ก้าวระหว่างโหนด หมายความว่าไง เอาภาษาชาวบ้านก็หมายความว่า ถ้าเราสมมติให้ B คือเมตริกซ์เดิน 3 ก้าว อีลีเม้นท์ B_ij คือจำนวนเส้นทางที่เราจะเดินจากโหนด i ไปยังโหนด j โดยใช้เพียง 3 ก้าว ลองเช็คความเข้าใจนะครับ B_33 คุณสามารถเดินจากโหนด 3 แล้วกลับมาที่เดิมในการเดิน 3 ก้าวได้มั้ย? (เดินไปโหนดที่อยู่ติดกันนับเป็น 1 ก้าว) ไม่ได้ครับ ฉะนั้น B_33 = 0 อีกสักตัว B_14 คุณเดินจาก 1 ไปยัง 4 โดยใช้ 3 ก้าวได้มั้ย? ได้ครับ เช่น 1-2-1-4 มีอีกมั้ย? 1-4-1-4 มีอีกมั้ย? 1-4-2-4 มีอีกมั้ย? หมดล่ะ ฉะนั้นมี 3 วิธีที่จะเดินจาก 1 ไปยัง 4 ทำให้ B_14 = 3 กราฟเล็ก ๆ แค่นี้คุณใช้พลังอึดนิดหน่อย ก็หา B ได้ล่ะ ไม่งั้น คุณก็ต้องรู้ทฤษฎีบทที่ว่า B = A^3 แล้วใช้ matlab ช่วย
>> A=[0 1 0 1; 1 0 2 1; 0 2 0 0; 1 1 0 0]; >> A^3 ดูรูปที่แล้วเมตริกซ์ทางขวามือ A^3 คำตอบของ Will ถูกต้อง
3. หา generating function สำหรับการเดินจากโหนด i ไปยัง j สมมติว่า a_n^(ij) คือจำนวนวิธีที่เดินจาก i ถึง j โดยใช้ n ก้าว (ในกรณีข้อที่แล้ว B_ij = a_3^(ij) นั่นเอง) ที่เขียนแบบนี้เพราะเดี๋ยวเราจะเหมาหมดไม่ว่ากี่ก้าวก็ตาม กราฟใด ๆ เราสามารถกำหนดอนุกรมสำหรับคู่ของโหนด i,j ได้โดยหาผลรวมของผลคูณ a_n^(ij) กับ z^n เมื่อ n มีค่าตั้งแต่ 0 ถึงอนันต์ อนุกรมนี้เรียกว่าฟังก์ชั่น f(z) คือสิ่งที่เขาให้เราหา
จำอนุกรมเรขาคณิต ที่ r < 1 ผลรวมของ r^n เมื่อ n มีค่าตั้งแต่ 0 ถึงอนันต์ เท่ากับ 1/(1-r) หรือ (1-r)^(-1) ซึ่งก็ยังใช้ได้กับเมตริกซ์ด้วย ฉะนั้น ผลรวมของ ([A^n]_ij)*z^n เมื่อ n มีค่าตั้งแต่ 0 ถึงอนันต์ เท่ากับ [(1-Az)^(-1)]_ij แล้วใช้กฎของคราเมอร์ หา X^(-1) จาก det(Adj(X)_ij)/det(X) เราก็จะได้หน้าตาประมาณบนกระดาน
4. เขาให้หากรณีที่ i = 1 และ j = 3 ของข้อ 3
เราก็แทนค่าหา det(Adj(1-zA)_13) กับ det(1-zA) จับหารกันพบคำตอบ
ฉากต่อมาเป็นฉากที่ Will กับ Prof. Lambeau ตัดบนตัดล่างกันดูมันมาก แต่ผลลัพธ์สุดท้ายไม่เห็นจะมีอะไรน่าตื่นเต้นเมื่อมองดูสมการดี ๆ แค่บิ้วอารมณ์คนดูที่ไม่รู้เลขล้วน ๆ เพราะคำตอบ P(k) = k(k-1)(k-2)^4 ถูกตัดมาจาก [(k^3)((k-1)^3)((k-2)^6)]/[(k^2)((k-1)^2)((k-2)^2)] หลังจากที่ Will เขียนพจน์ (k-2)^6 ลงไป คำถามของคำตอบนี้คือ ให้หาพหุนามโครมาติกของกราฟ G บนกระดานซึ่งนิยามโดยจำนวนวิธีที่จะลงสีของจุดโหนด k สี โดยที่ไม่มี 2 โหนดใดที่เชื่อมกันด้วย edge อันเดียวมีจะสีซ้ำกัน (ถ้าเราลองแทนค่า k = 0, 1 หรือ 2 เราจะได้ P(k) = 0 เมกเซ็นส์ เพราะว่าสำหรับกราฟนี้ อย่างน้อยเราต้องใช้ 3 สี เพราะในกรณีที่มี 2 สี โหนดที่อยู่ตรงกลางด้านของสามเหลี่ยมใหญ่จะต้องต่างสีจากโหนดที่เป็นจุดมุมของสามเหลี่ยมใหญ่ แต่เกิดข้อขัดแย้งกับเงื่อนไข เพราะโหนดที่อยู่ตรงกลางของด้านสามเหลี่ยมใหญ่ทั้งหมดนั้นเชื่อมกันด้วย edge เพียง edge เดียว)
ฉากสุดท้าย เป็นฉากจูบที่ยังมีเบอเกอร์เต็มปาก ปรากฎว่าชายผู้อยู่ในฉากหลังนั้นคือ Daniel J. Kleitman นักคณิตศาสตร์ตัวจริงเพียงหนึ่งเดียวในหนัง แถมเป็นผู้มี Erdős–Bacon number เท่ากับ 3 เพราะว่ามินนี่นางเคยเล่น Sleepers กับเควิน เบคอน (ฉะนั้น หมายเลขเบคอนจึงเท่ากับ 2) Kleitman มีหมายเลข Erdős 1 อันที่จริงแกเป็นคนหนึ่งใน G.W. Peck นามแฝงของกลุ่มนักคณิตศาสตร์ที่เขียนเปเปอร์วิชาการ ตัว k ในชื่อของ Peck ก็คือ Kleitman ส่วนตัว e คือ Paul Erdős
