ผมอ่านเล่มนี้แบบคนที่พอรู้แคลคูลัสมาบ้าง สิ่งที่คาดหวังจากมันจึงไม่ใช่แคลคูลัส แต่เป็นวิธีจัดการกับแคลคูลัสด้วย infinitesimal ซึ่งเป็นแนวทางที่ไลบ์นิซใช้คิดแคลคูลัส ขณะที่ความคิดของนิวตันถูกพัฒนาต่อไปเป็นทฤษฎีลิมิต และหลักสูตรเลข ม.ปลาย ของเราก็สอนแคลคูลัสผ่านกรอบความคิดแบบลิมิต เหตุผลหนึ่งคือ ลิมิตถูกพัฒนาให้มีความหนักแน่นในเชิงตรรกะทางคณิตศาสตร์ก่อน อะไรที่เสร็จก่อนและดีใช้ได้ ก็จะได้เป็นมาตรฐาน ส่วน infinitesimal ของไลบ์นิซเพิ่งถูกทำให้หนักแน่นไม่แพ้กันโดยอับราฮัม โรบินสัน เมื่อห้าหกสิบกว่าปีที่แล้ว ทำให้ได้รับป้ายชื่อว่าเป็น nonstandard analysis ไอเดียของไลบ์นิซนั้นเกี่ยวข้องกับจำนวนชนิดหนึ่งที่ไม่ใช่จำนวนจริง และไม่ใช่จำนวนจินตภาพ จำนวนตัวนั้นคือ infinitesimal พูดแบบหยาบ ๆ มันคือจำนวนที่มีค่ามากกว่า 0 แต่น้อยกว่าจำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยที่สุด คำถาม จำนวนจริงบวกที่มีค่าน้อยที่สุดนะมีเหรอ? ถ้า a เป็นจำนวนจริงบวก เราสามารถหาจำนวนจริงบวก b ที่มีค่าน้อยกว่า a ได้เสมอ โอเคงั้นพูดใหม่ว่า ไม่มีจำนวนจริงบวกตัวไหนที่มีค่าน้อยกว่า infinitesimal ฉะนั้นสิ่งที่โรบินสันทำก็คือ ต้องขยายระบบจำนวนจริง โดยเพิ่มจำนวนชนิดใหม่ลงไป และจำนวนชนิดใหม่นี้ ปัจจุบันเรียกกันว่าจำนวน hyperreal (HR) จะต้องมีสมบัติที่ครอบคลุมสมบัติของจำนวนจริง ถ้าจำนวนจริงมีสมบัติอะไร HR ก็ต้องมีสมบัติอันนั้นด้วย ข้อความที่เราจะอ่านเจอบ่อยในเล่มอยู่บนเหตุผลนี้ "เพราะว่าประโยคดังกล่าวซึ่งเขียนด้วยภาษา L เป็นจริงใน R ฉะนั้นมันจึงต้องเป็นจริงใน HR" เนื้อหาบทแรก ๆ ของหนังสือจึงเป็นเรื่องของการสร้างภาษาที่ใช้บรรยายสมบัติทางคณิตศาสตร์และใช้เครื่องมือคือตรรกศาสตร์ในการสร้างระบบจำนวนไฮเปอร์เรียล เนื้อหาบทหลัง ๆ ก็เป็นการพิสูจน์ทฤษฎีบทสำคัญ ๆ ของแคลคูลัสด้วยจำนวนไฮเปอร์เรียล ผู้เขียนเชื่อว่า วิธีดังกล่าวให้ความหมายของแคลคูลัสที่สอดรับกับสัญชาติญาณของเรามากกว่าวิธีลิมิต ตัวอย่าง เราอยากหาความชันของเส้นสัมผัส y = x^2 ที่จุด (1,1) ผมเชื่อว่านักเรียน ม. ปลาย ส่วนใหญ่ที่เรียนแคลคูลัสแล้วตอบได้ภายในไม่กี่วินาที "ดิฟหนึ่งทีได้ 2x แล้วแทน x ด้วย 1 ได้คำตอบคือ 2" ... เป็นคำตอบที่ถูกครับ พอเราเจาะลึกเข้าไปอีกนิดว่า "เธอลองให้เหตุผลสนับสนุนซิ" คำตอบที่คุณอาจได้ยินจากปากนักเรียนที่เก่งสักหน่อยจะอยู่ในทำนองนี้ครับ ความชันหาได้จาก Δy/Δx และเมื่อ Δx เล็กลง ๆ เรื่อย ๆ จนเข้าสู่ 0 เราก็จะได้ความชันของเส้นสัมผัส ตรงนี้พูด (ซึ่งอาจจะฟังยากสักหน่อยสำหรับคนที่เกลียดเลข) ว่า "ถ้า f(x) เป็นฟังก์ชั่นใด ๆ เรานิยาม limit ของ f(x) เมื่อ x เข้าสู่ a ว่ามีค่าเท่ากับ b จาก ... สำหรับจำนวนจริง ε ใด ๆ ก็ตามที่มีค่ามากกว่า 0 มันจะต้องมีจำนวนจริง δ ที่มากกว่า 0 ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขว่า เมื่อไหร่ก็ตามที่ 0 < |x-a| < δ แล้ว |f(x) - b| จะต้องน้อยกว่า ε" ฉะนั้น อันดับแรก นักเรียนคนนั้นบอกว่า เราต้องนิยามฟังก์ชั่นของความชัน f(Δx) = Δy/Δx แล้วคำนวณหาค่า Δy ง่าย ๆ จาก y = x^2 ได้ f(Δx) = (2Δx + (Δx)^2)/Δx จากนั้นก็แค่แสดงให้เห็นว่า limit ของ f(Δx) เมื่อ Δx เข้าสู่ 0 เท่ากับ 2 หรือพูดว่า สำหรับทุกค่าของ ε > 0 จะมีค่า δ > 0 ที่ทำให้เมื่อไหร่ก็ตามที่ 0 < |Δx-0| < δ แล้ว |(2Δx + (Δx)^2)/Δx - 2| < ε ซึ่งในตัวอย่างนี้ ถ้าเราให้ δ = ε มันก็จะผ่านเงื่อนไข ทำให้เราพูดได้ว่าลิมิตของ f(Δx) เท่ากับ 2
โอเคเหตุผลเหล่านี้เด็ก ๆ ส่วนมากเกลียดกัน
ทีนี้ สมมติว่า (1) เราสร้างวัตถุที่เรียกว่า infinitesimal ขึ้นมาได้อย่างหนักแน่นทางคณิตศาสตร์ และ (2) ประโยคอะไรก็ตามที่เป็นจริงใน R จะเป็นจริงใน HR ด้วย ไอเดียการหาความชันเส้นสัมผัสของไลบ์นิซจะแสดงดังรูปข้างล่างนี่แหละฮะ โดยเราใช้สัญลักษณ์ที่คล้าย ๆ ตาไก่หรือฟองมัน (วงกลมสองวงซ้อนกัน) แทน infinitesimal (ในหนังสือ ออกเสียงเรียกว่าไฮ้ป์) ซึ่งเป็นจำนวนไฮเปอร์เรียล ความชันระหว่างจุด (1,1) กับ (1+๏, (1+๏)^2) เราจะได้ว่าเท่ากับ Δy/Δx = 2+๏ ทีนี้ ลองหาความชันระหว่างจุด (1,1) กับ (1-๏, (1-๏)2) บ้าง เราจะได้ 2-๏ เราให้เหตุผลว่า ความชันของเส้นสัมผัสจะต้องเป็นจำนวนจริง แต่ทั้ง 2+๏ และ 2-๏ ต่างก็ไม่ใช่จำนวนจริง อีกทั้งความชันของเส้นสัมผัสนั้นจะต้องเป็นจำนวนจริงที่อยู่ระหว่าง 2 ค่านี้ ในเมื่อเจ้าไฮป์ถูกนิยามให้ไม่มีจำนวนจริงตัวใดน้อยกว่ามัน ฉะนั้นความชันของเส้นสัมผัสคือ 2
พื้นที่ส่วนใหญ่ของหนังสือคือการทำให้ข้อความที่เราเขียนว่าสมมติ (1) กับ (2) นั้นมีเหตุผลรองรับหนักแน่นนั่นเอง ถึงแม้รูปแบบของหนังสือจะออกมาเป็นตำราเรียนจ๋า มีแบบฝึกหัดให้พิสูจน์ทฤษฎีบทมากมาย แต่หนังสือเล่มนี้ก็สามารถถูกอ่านเพื่อความบันเทิงเชิงปรัชญาได้ โดยเฉพาะกับนักเรียนวิศวะที่เรียนผ่านเส้นทางมาตรฐาน ผมไม่ทำแบบฝึกหัดเลยสักข้อเดียว ผู้เขียนยังได้แทรกเกร็ดประวัติศาสตร์และโควตเก๋ ๆ กระจายทั้งเล่ม ขอพูดถึงภาพปกบ้าง เพราะเคยเอาปกเล่มนี้ขึ้น facebook แล้วน้องปันถามว่าต้องมองภาพมุมไหน อันที่จริง จนบัดนี้ผมก็ยังมองไม่ออกสักมุมนะ ผมเข้าใจว่าภาพปกคือภาพที่แสดงรูปภาพซึ่งเราใช้มันช่วยในการหาผลรวมของ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 ตามรูปนี้ n = 5 และเป็นรูปที่รวมปริมาตรแล้ว 2 ก้อน หรือเป็นซัมของ n^2 2 ชุด ถ้าเรารวมเพิ่มเข้าไปอีก 4 ก้อน (กลายเป็น 6 ก้อน) เราจะได้รูปกล่องที่กว้างยาวสูงเท่ากับ n, n+1, 2n+1 ตามลำดับ และกล่องนี้มีปริมาตรเท่ากับ n(n+1)(2n+1) ทำให้เรารู้ว่าปริมาณของก้อนเดียวคือ n(n+1)(2n+1)/6 และนี่ก็คือซัมของ n^2 หรือ 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2