เป็นหนังสือคณิตศาสตร์ที่รวบรวมปัญหา pursuit-and-escape ไว้อย่างครบครัน โดย Paul J. Nahin อีกทั้งเต็มเปี่ยมด้วยสีสันและบรรยายกาศในเชิงประวัติศาสตร์ความเป็นมาที่เหล่านักคณิตศาสตร์หยิบยกปัญหาเหล่านี้มาเล่นกัน เริ่มตั้งแต่ปัญหาคลาสสิกข้อแรกที่ถือว่าเป็นต้นกำเนิดของปัญหาหลบหนีไล่ล่า คือปัญหาเรือโจรสลัดไล่เรือพ่อค้าของ Pierre Bouguer (1698-1758) จนมาถึงปัญหาคลาสสิกสมัยใหม่ อย่างปัญหาหญิงสาวพายเรือหนีผู้ชายในบึง หรือปัญหาไล่จับสิ่งที่มองไม่เห็น หรือปัญหาหนีสิงโตของ Rado ซึ่งปัญหาหลังนี้มาพร้อมกับคำตอบอันชาญฉลาดของโปรเฟสเซอร์ Besicovitch สำหรับปัญหาหนีสิงโต Rado ตั้งคำถามว่า ในพื้นที่วงกลมที่จำกัด คนซึ่งเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วเท่ากับอัตราเร็วสิงโต จะหลบหนีสิงโตพ้นหรือไม่ เมื่อสิงโตใช้วิธีไล่โดยการรักษาให้จุด ศ.ก. ของวงกลม ตัวเอง และตัวคน มีสมบัติอยู่บนเส้นตรงเดียวกันตลอดเวลา ให้พิจารณาทั้งคนและสิงโตเป็นจุด ซึ่งคำตอบถูกเชื่อกันมานานว่าคนหนีไม่ได้ จนกระทั่ง Besicovitch หาทางหนีให้คนได้อย่างสุดยอด (ใครอยากรู้คำตอบ ดูบทที่ 4 Seven Classic Evasion Problems ของหนังสือเล่มนี้นะ) พื้นฐานคณิตศาสตร์ที่ใช้สำหรับผู้อ่านคือแคลคูลัสระดับมหาวิทยาลัยขั้นพื้นฐาน โดยเฉพาะแคลคูลัสในรูปเชิงขั้ว และการแก้สมการอนุพันธ์เล็กน้อย อันที่จริงนักเรียน ม.ปลาย ที่ไม่เป็นโรคกลัวสมการและพร้อมที่จะเรียนรู้เนื้อหาเพิ่มเติมเล็กน้อยก็สามารถอ่านได้นะครับ สำหรับใครที่อยากชิมโจทย์แนวนี้แบบง่าย ๆ ผมขอฝากทิ้งท้ายด้วยปัญหาของมาร์ติน การ์ดเนอร์ (ที่สามารถแก้ได้โดยไม่ต้องใช้แคลคูลัส) การ์ดเนอร์บอกว่ามีหมา 4 ตัวอยู่ที่จุดมุมของสี่เหลี่ยมจตุรัส หมาแต่ละตัวจะวิ่งไล่หมาอีกตัวที่อยู่ติดกับมันในทิศทวนเข็มนาฬิกา (สมมติทั้งสี่มุมคือ 1 2 3 4 เรียงวนในทิศทวนเข็มนาฬิกา ความหมายของโจทย์คือ หมา 1 ไล่หมา 2, หมา 2 ไล่หมา 3, หมา 3 ไล่หมา 4, และหมา 4 ไล่หมา 1) โดยหมาทุกตัววิ่งในทิศพุ่งตรงไปยังตัวที่มันกำลังไล่ตลอดเวลา ถามว่าระยะทางที่หมาแต่ละตัววิ่งตั้งแต่เริ่มจนจับหมาอีกตัวได้เท่ากับเท่าไร
ตัวอย่างปัญหาไล่จับมนุษย์ล่องหนพร้อมเฉลย
คุณกำลังไล่จับมนุษย์ล่องหน ก่อนที่เธอจะล่องหน คุณเห็นเธอครั้งล่าสุดอยู่ห่างออกไป 1 กิโลเมตรในทิศทางหนึ่ง คุณรู้ว่าเมื่อเธอล่องหนแล้ว เธอจะวิ่งหนีไปในทิศทางไหนก็ได้ด้วยความเร็วคงที่ (หมายถึงอัตราเร็วคงที่และเส้นทางที่เธอใช้เป็นเส้นตรง) ถ้าคุณวิ่งเร็วกว่าเธอ 3 เท่า คุณจะจับเธอได้มั้ยครับ ถ้าได้ ใช้เส้นทางไหน? ถ้าไม่ได้ ทำไม? กำหนดให้เธอล่องหนได้แค่ครั้งนี้ครั้งเดียว
เฉลย
โจทย์ข้อนี้เป็นปัญหาคลาสสิกข้อหนึ่งในแคลคูลัส ซึ่งแวบแรกดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่คุณจะไล่จับสิ่งที่มองไม่เห็น เพราะมีความเป็นไปได้ หรือมีทิศทางให้เธอหนีมหาศาล ก่อนอื่นเรามาสร้างข้อตกลงเพื่อสะดวกในการคำนวณสัก 2 ข้อ
1. เธอจะหายตัวและเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบนี้ไปตลอดกาลหรือจนกว่าจะจับได้
2. คำว่าจับได้ หมายถึง การที่คุณและเธอครองตำแหน่งเดียวกัน ณ เวลาเดียวกัน โจทย์ข้อนี้เราจับเธอได้ด้วยการไปจับเธอที่ทุกทิศทางที่เป็นไปได้ครับ กำหนดให้เราเห็นเธอครั้งสุดท้ายที่ตำแหน่ง (0,0) และเราอยู่ตำแหน่ง (d,0) ที่เวลา t = 0 เธอมีอัตราเร็ว v_1 ส่วนเรามีอัตราเร็ว v_2 และให้ v_2/v_1 = k เราจะคิดโจทย์ข้อนี้ในกรณีทั่วไป แล้วค่อยแทน d = 1, k = 3 เพื่อเป็นคำตอบเฉพาะสำหรับกรณีเฉพาะของโจทย์ ขั้นแรก เราจะวิ่งเข้าหาเธอโดยสมมติว่าเธอวิ่งเข้าหาเราเช่นกัน (เป็นทิศทางหนึ่งที่เป็นไปได้ใช่มั้ยฮะ แม้ความเป็นไปได้จะน้อยนิดก็ตามที) เราจะได้สมการง่าย ๆ ที่เป็นข้อกำหนดว่าเรากับเธอเจอกันที่ t = T นั่นคือ v_2⋅T = dk/(1+k) หมายความว่าเธอวิ่งมาได้ระยะทาง d/(1+k) นับจากจุด (0,0) และตำแหน่งของเราก็อยู่ห่างจากจุก (0,0) เท่ากับ d/(1+k) เช่นกัน จากนั้นที่ t > T ก็ให้วิ่งเป็นวงก้นหอยที่มีขนาดใหญ่ขึ้น (increasing spiral) ซึ่งเส้นโค้ง spiral ดังกล่าวจะต้องสอดคล้องกับความเป็นไปได้ที่เวลา t > T ทั้งเราและเธออยู่ตำแหน่งเดียวกัน ดังนั้น เราเขียนเวกเตอร์ตำแหน่งของเราที่ t ≥ T ซึ่งชี้ตำแหน่งอยู่บนเส้นโค้ง spiral ได้ด้วย p(t) = v_1⋅t⋅e^{i⋅θ(t)} เมื่อ θ(t) คือมุมที่เวกเตอร์ p(t) ทำกับแกน x ฉะนั้นเวกเตอร์ความเร็วของเราคือ
p'(t) = v_1⋅e^{iθ(t)} + i⋅v_1⋅t⋅e^{iθ(t)}⋅θ'(t) จัดรูปนิดหน่อยโดยใช้ Euler's identity p'(t) = v_1⋅[cos(θ) - t⋅sin(θ)⋅θ'(t) + i⋅(sin(θ) + t⋅cos(θ)⋅θ'(t))]
ซึ่ง |p'(t)|^2 ต้องเท่ากับ v^2_2 เงื่อนไขอันนี้แหละครับที่จะทำให้เราไปอยู่จุดที่ p(t) ชี้เวลาเดียวกับเธอถ้าเธอวิ่งหนีมาในทิศทำมุม θ(t) กับแกน x และ |p'(t)|^2 = v^2_1⋅[1 + t^2⋅(θ'(t))^2] ได้ (θ'(t))^2 = (k^2-1)/t^2 ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง เอาแต่ค่าบวก (จะเอาค่าลบก็ได้ครับ มันบอกทิศทางการวิ่งวนของเราว่าจะวิ่งตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา) แล้วอินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง หา θ(t) θ(t) = ζ⋅ln(t) + C ที่ t ≥ T และเมื่อ ζ^2 = k^2-1 หาค่า C จาก ζ⋅ln(T) + C = 0 หรือ C = - ζ⋅ln(T) นั่นคือ θ(t) = ζ⋅ln(t) - ζ⋅ln(T) = ζ⋅ln(t/T) หรือ t = T⋅e^{θ(t)/ζ} ฉะนั้น |p(t)| = v_1⋅t = v_1⋅T⋅e^{θ(t)/ζ} แทนค่า T = dk/[(1+k)v_2] |p(t)| = [d/(1+k)]e^{θ/ζ} จากสมการเห็นว่าเราสร้างเส้นโค้งได้เสมอยกเว้นกรณีที่ 0 < k ≤ 1 เพราะจะทำให้ ζ^2 ≤ 0 ทีนี้คิดที่กรณีเฉพาะ d = 1, k = 3 ได้ |p(t)| = r = (1/4)e^{θ/sqrt(8)} ลองเอาไปพล๊อตด้วย WolframAlpha ได้กราฟดังรูป อย่าลืมว่าเราสนใจเส้นโค้งนี้ที่ t ≥ T นะครับ (นั่นคือที่ r < 0.25 ก็ไม่ต้องไปสนใจมัน)
กลยุทธ์ที่คุณจะใช้คือ เริ่มต้นด้วยวิ่งเข้าหาเธอจนกระทั่งถึงเส้นโค้งแล้ววิ่งต่อไปตามเส้นโค้ง ทุกจุดบนเส้นโค้งเหล่านี้คือจุดที่เป็นไปได้ที่คุณจะอยู่ตำแหน่งเดียวกับเธอ ณ เวลาเดียวกันถ้าเธอวิ่งในทิศนั้น ภายในการวิ่งตามเส้นครบรอบ 360 องศาจะรับประกันว่าคุณจับเธอได้ครับ ลองเช็คคำตอบกับจุดง่าย ๆ สักจุดนะ สมมติเธอวิ่งในทิศ +y เส้นโค้งตัดแกน y จุดหนึ่งที่ θ = 0.5⋅π หรือ r = 0.25⋅e^{0.5⋅π/sqrt(8)} เธอจะถึงจุด (0,r) นี้ที่ t = 0.25⋅e^{0.5⋅π/sqrt(8)}/v_1 เรารู้ว่าที่ t = 0.25/v_1 นั้น คุณวิ่งมาถึงเส้นโค้งพอดี ถ้าคุณใช้เวลา 0.25⋅e^{0.5⋅π/sqrt(8)}/v_1 - 0.25/v_1 = 0.25(e^{0.5⋅π/sqrt(8)}-1)/v_1 ในการวิ่งตามเส้นโค้งจากจุด (0.25,0) ถึง (0,r) ก็แปลว่าคุณจะทันกับเธอที่จุด (0,r) พอดี ซึ่งเราคำนวณความยาวเส้นโค้งในช่วงดังกล่าวได้โดยอินทิเกรต sqrt(r^2 + (r')^2) (วิธีหาความยาวส่วนของเส้นโค้งในรูปเชิงขั้ว) จำกัดเขตจาก θ ตั้งแต่ 0 ถึง 0.5⋅π จะได้ (3/4)⋅(e^{0.5⋅π/sqrt(8)}-1) เมื่อเอาระยะทางหารด้วย v_2 เราจะได้ 0.25⋅(e^{0.5⋅π/sqrt(8)}-1)/v_1 พอดี นั่นคือทันกันเป๊ะครับ