ในเกมบิงโกที่มีผู้เล่นจำนวนมาก โอกาสที่การ์ดบิงโกใบที่ชนะ จะเป็นการชนะในแนวนอนมากกว่าการชนะในแนวตั้ง ตอนเราอ่านย่อหน้าแรกของบทความครั้งแรก ก็ดูเหมือนจะขัดกับสามัญสำนึกอยู่นะ เพราะการ์ดบิงโกเป็นตารางตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันขนาด 5x5 แนวตั้งแนวนอนไม่น่าจะมีความหมายอะไร อันที่จริงพอหมุนการ์ด 90 องศา มันก็สลับกันแล้ว แต่พอบทความจั่วหัวมาอย่างนี้ มันคงต้องคิดมากกว่านั้นล่ะ พอได้คิดถึงการกระจายของตัวเลข ก็คิดว่าเป็นไปได้แฮะ เพราะการกระจายของตัวเลขที่กระจายในแนวตั้งกับการกระจายในแนวนอนไม่เหมือนกัน จากวิธีการสร้างการ์ดบิงโก และตัวเลขที่สุ่มในแนวตั้งนั้นจะอยู่ในช่วงที่แคบกว่าตัวเลขที่สุ่มซึ่งเรียงกันในแนวนอน ฉะนั้น ถ้ามีคนเล่นเกมนี้มากพอ (หรือการ์ดที่แตกต่างกันทุกใบที่เป็นไปได้ มีคนเล่น) เกมจะจบด้วยบิงโกแนวนอนบ่อยครั้งกว่าการจบด้วยบิงโกแนวตั้ง หลังอ่านบทความจบ ก็เป็นไปตามที่คิด บทความนี้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้แหละ และการพิสูจน์ก็ไม่ได้ใช้คณิตศาสตร์ระดับสูงอะไร แต่ก็ไม่ง่าย เพราะการหารูปแบบการนับให้ครบทุกกรณีค่อนข้างซับซ้อน เพื่อให้เกิดสุนทรียภาพร่วมในความงามและความเรียบง่ายของบทพิสูจน์ ขอยกตัวอย่างกรณีที่ง่ายที่สุดประกอบนะฮะ
การ์ดบิงโกเป็นตาราง 5x5 ถ้าเราเรียกชื่อของแต่ละหลัก (column) จากซ้ายไปขวาด้วยตัวอักษร 5 ตัวคือ B, I, N, G, O (ปกติตัวอักษร BINGO จะพิมพ์อยู่บนหัวของแต่ละหลักในการ์ดบิงโก) ตัวเลข 5 ตัวที่อยู่ในหลัก B จะสุ่มจากตัวเลขในช่วง 1-15 และตัวเลข 5 ตัวที่อยู่ในหลัก I, N, G และ O จะสุ่มจากตัวเลขในช่วง 16-30, 31-45, 46-60, และ 61-75 ตามลำดับ ฉะนั้น ลำดับการขานตัวเลข อาจเขียนในรูปนี้ B11, I23, G58, B13, I21, N34, G55, O75, ... จำนวนลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดจึงมี 75! ลำดับ (fundamental counting principle ม. ปลาย) ถ้าเราตั้งสมมุติฐานว่า มีผู้เล่นมาก ๆ นั่นคือ มากจนทำใหั เมื่อไรก็ตามที่ทั้ง 5 หลัก (BINGO) ปรากฎในลำดับ จะมีผู้ชนะเสมอ หรือเมื่อไรก็ตามที่ในลำดับ มีหลักใดหลักหนึ่งซ้ำกัน 5 ครั้ง ก็จะมีผู้ชนะเสมอ ปัญหาของเราก็จะเปลี่ยนเป็นแค่มองว่า ใน 75! ลำดับนั้น มีจำนวนลำดับที่มีหลักครบทั้ง 5 หลักก่อนที่หลักใดหลักหนึ่งจะมีครบ 5 ตัว (ต่อไป เราจะเรียกชื่อลำดับชนิดนี้ว่าลำดับแนวนอน หรือ horizontal sequence) อยู่กี่ลำดับ และจำนวนลำดับที่หลักใดหลักหนึ่งจะมีครบ 5 ตัวก่อนที่ลำดับนั้นจะมีครบ 5 หลัก (ต่อไป เราจะเรียกลำดับชนิดนี้ว่าลำดับแนวตั้ง หรือ vertical sequence) อยู่กี่ลำดับ เท่านี้เราก็สามารถคำนวณความน่าจะเป็นที่จะจบด้วยแนวนอนกับความน่าจะเป็นที่จะจบด้วยแนวตั้งได้ล่ะ (propability theory ม. ปลาย) แต่ความยากมันอยู่ที่ 75! เป็นจำนวนที่ใหญ่มาก เขียนด้วยดินสอออกมาทุกกรณีไม่ไหว (แต่ทำ simulation ได้ไม่ยาก) ฉะนั้น เราจำเป็นต้องสร้างสมบัติที่เป็นนามธรรมบางอย่างมาช่วยในการวิเคราะห์ โดยในบทความสร้างสมบัติขึ้นมาสองตัวคือ h(n) กับ v(n) โดยนิยามว่า ลำดับการขานตัวเลขจะเป็นลำดับที่มีสมบัติ h(n) ถ้าลำดับนั้นเป็นลำดับแนวนอนที่ตัวที่ n ของลำดับ และลำดับจะมีสมบัติ v(n) ถ้าลำดับนั้นเป็นลำดับแนวตั้งที่ตัวที่ n (เป็นไปไม่ได้ที่จะมีลำดับที่เป็นทั้งลำดับแนวนอนและแนวตั้ง เพราะถ้าตัวเลขตัวหนึ่งเช่น O75 ทำให้ลำดับหนึ่งเป็นลำดับแนวนอน แปลว่าก่อนหน้านั้น ลำดับนั้นยังไม่มี O ฉะนั้น O75 จึงไม่สามารถทำให้ลำดับนั้นเป็นลำดับแนวตั้งได้ แต่ถ้า O75 ทำให้ลำดับใดเป็นลำดับแนวตั้ง ซึ่งหมายความว่า ก่อนหน้านั้นมันมี O มาแล้ว 4 ตัว ก็ย่อมเป็นไปไม่ได้ที่ O75 จะทำให้ลำดับนั้นเป็นลำดับแนวนอน) (นอกจากสมบัติสองตัวนี้ เขายังนิยาม shape ของลำดับมาช่วยในการนับ การหาจำนวน shape นี่แหละ ที่ค่อนข้างซับซ้อน)
ตัวอย่าง B11, I23, G58, B13, I21, N34, G55, O75, ... เป็นลำดับที่มีสมบัติ h(8)
กรณีที่คำนวณง่ายที่สุดคือกรณีที่ขานเลข 5 ตัวแล้วบิงโก โอกาสที่จะเป็นลำดับแนวนอนคือ P(h(5)) = (60/74)(45/73)(30/72)(15/71) = 4.4% (หลังจากขานเลขตัวแรกแล้ว เลขตัวที่สองที่เป็นไปได้มี 60 ตัวใน 74 ตัว คือไม่ใช่ 14 ตัวที่อยู่ในหลักเดียวกับตัวแรก และตัวเลขตัวที่สามที่เป็นไปได้มี 45 ตัวจาก 73 ตัว คือไม่ใช่ 28 ตัวที่อยู่ในหลักเดียวกับสองตัวแรก ... ที่เหลือน่ารู้ล่ะ) ทำนองเดียวกับ P(v(5)) = (14/74)(13/73)(12/72)(11/71) = 0.087% (ใครที่มีหนังสือเล่มนี้ในมือ จะเห็นว่าสมการนี้ในหนังสือมี typo นะ) เห็นว่า เฉพาะกรณีนี้ P(h(5)) มากกว่า P(v(5)) อยู่ประมาณ 50 เท่า ทีนี้ ถ้าอยากรู้กรณีอื่น ก็คำนวณกรณีที่ n = 6, 7, 8, ... จนถึง 17 (ไม่ต้องคำนวณ n ที่เกิน 17 เพราะ Dirichlet's box principle ไม่มีเรียนตอน ม. ปลาย แต่เป็น principle ที่ intuitive มาก ๆ เพราะถ้าขานมา 16 ตัวแล้วยังไม่บิงโก มีความเป็นไปได้กรณีเดียวคือ มีตัวเลขอยู่ใน 4 หลัก หลักละ 4 ตัว (ถ้าไม่ใช่กรณีนี้ มันบิงโกไปแล้ว) ฉะนั้น นกพิราบตัวที่ 17 จะทำให้หลักใดหลักหนึ่งหรือแถวใดแถวหนึ่งมีตัวเลข 5 ตัว) แต่รูปแนบที่จะนับของกรณีอื่น ๆ ก็ซับซ้อนขึ้นมาหน่อย ตัวเลขสรุปที่บทความบอกคือ สำหรับการ์ดบิงโก (แบบไม่ช่องฟรีที่ตรงกลาง) ความน่าจะเป็นที่จะเป็นลำดับแนวนอนคือ 75.2% และความน่าจะเป็นสำหรับลำดับแนวตั้งคือ 24.8% สำหรับการ์ดแบบมีช่องฟรีตรงกลาง ตัวเลขจะต่างไปนิดนึง คือความน่าจะเป็นที่จะเป็นลำดับแนวนอนคือ 73.73%
อ่านเจอในบทความ The Bingo Paradox หนึ่งบทที่รวมอยู่ใน The Best Writing on Mathematics 2018 เขียนโดย Arthur Benjamin, Joseph Kisenwether, กับ Ben Weiss
